Астрономия

Вклад напряжения Максвелла в $ nabla cdot mathbf {P} $ в уравнении Навье-Стокса для жидкости в звездах

Вклад напряжения Максвелла в $  nabla  cdot  mathbf {P} $ в уравнении Навье-Стокса для жидкости в звездах


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Я читал следующий отрывок, в котором описывается, как стресс Максвелла влияет на $ набла cdot mathbf {P} $ член уравнения Навье-Стокса для жидкости в звезде. Здесь $ mathbf {P} $ - общий симметричный тензор напряжений.

Я изо всех сил пытаюсь понять, насколько $ vert nabla cdot mathbf {P} vert / rho приблизительно 3 times 10 ^ {- 3} $ РС$^{-2}$ был получен с использованием информации, приведенной в отрывке. Кто-нибудь может предоставить быстрый вывод этого результата?


$ nabla B ^ 2 sim B ^ 2 / l, $ где $ l $ - шкала длины, на которой $ B ^ 2 $ меняется.

В единицах СИ $ B ^ 2 sim 4 times 10 ^ {- 8} $ Т$^2$ а также $ mu_0 = 4 pi times 10 ^ {- 7} $, поэтому по порядку величины $ набла cdot P_B $ является $ 4 times 10 ^ {- 8} / (8 pi times 10 ^ {- 7} times 10 ^ {6}) sim 10 ^ {- 8} $ Па / м.

Плотность фотосферы Солнца (при единице оптической глубины в видимом спектре) составляет около $ rho sim 10 ^ {- 4} $ кг / м$^3$.

Таким образом $ nabla cdot P_B / rho sim 10 ^ {- 4} $ РС$^2$.

Так что нет, я не могу воспроизвести ваш номер.


Как ввести тензор напряжений на многообразиях?

Я хочу понять тип тензора напряжений $ mathbf

$ по классической физике.

Обычно в физике говорят, что сила $ text d boldsymbol F $ (вектор), действующая на бесконечно малую область $ text d boldsymbol s $ (вектор), равна

$ text d boldsymbol F = mathbf

cdot text d boldsymbol s $

где $ cdot $ - «скалярное произведение».

Как это можно улучшить? Я предполагаю, что направленная область может быть $ star s $, где $ s $ - это 2-форма, но могу ли я избежать использования $ star $, например, используя форму объема? Сила должна быть 1-форма.

Как пишется мощность поверхностных сил? Обычно это дается

$ frac

= int_S boldsymbol v cdot text d boldsymbol F $

$ boldsymbol v $ - скорость поверхности деформируемого тела.

Какой была бы соответствующая локальная форма, то есть плотность мощности поверхностных сил?

Если это поможет, я нашел целое приложение «Классический тензор напряжений Коши и уравнения движения» в книге Теодора Франкеля «Геометрия физики: введение». В частности, говорится

Напряжение Коши должно быть векторной псевдо - $ (n - 1) $ - формой.

Однако в настоящее время я не знаю, что это значит. Дальнейшее развитие книги довольно туманно, и я боюсь этого «псевдо». Если вещь называется «псевдо-что-то», я бы предпочел, чтобы она была указана как «актуальная другая вещь».

Тензор напряжений также можно рассматривать как (молекулярный) поток количества движения. Тогда уравнение баланса количества движения было бы вторым законом Ньютона. Наверное, такой подход будет более плодотворным, аналоги можно сделать с потоком плотности.


СОДЕРЖАНИЕ

Заряженная частица

Сила F действуя на частицу электрического заряда q с мгновенной скоростью v, за счет внешнего электрического поля E и магнитное поле B, определяется выражением (в единицах СИ & # 911 & # 93): & # 916 & # 93

где × - векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, - векторы) Что касается декартовых компонентов, мы имеем:

В общем, электрическое и магнитное поля зависят от положения и времени. Следовательно, явно сила Лоренца может быть записана как:

в котором р - вектор положения заряженной частицы, т - это время, а точка - это производная по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в одно и тоже линейная ориентация как E поле, но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v и B поле в соответствии с правилом правой руки (подробно, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v а затем закручиваются в направлении B, то вытянутый большой палец будет указывать в направлении F).

Термин qE называется электрическая сила, а срок q(v × B) называется магнитная сила. & # 917 & # 93 Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы, & # 918 & # 93 с общее электромагнитная сила (в том числе электрическая сила), получившая другое (нестандартное) название. Эта статья будет нет следуйте этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Составляющая магнитной силы силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте это также называется силой Лапласа.

Сила Лоренца - это сила, оказываемая электромагнитным полем на заряженную частицу, то есть скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта сила

Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

Непрерывное распределение заряда

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает следующий вид:

где (< Displaystyle mathrm mathbf > ) - это сила, действующая на небольшой кусок распределения заряда с зарядом (< displaystyle mathrm д> ). Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого фрагмента распределения заряда (< displaystyle mathrm V> ) результат:

где (< Displaystyle mathbf > ) - это плотность силы (сила на единицу объема), а (< displaystyle rho> ) - плотность заряда (заряд на единицу объема). Далее, плотность тока, соответствующая движению зарядового континуума, равна

так что непрерывным аналогом уравнения является & # 919 & # 93

Полная сила - это объемный интеграл по распределению заряда:

В терминах (< displaystyle < boldsymbol < sigma >>> ) и (< displaystyle mathbf > ), другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема) - & # 919 & # 93

где (< displaystyle c> ) - скорость света, а ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергия в единицу времени на единицу расстояния) в полях к силе, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма.

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

Если мы разделим полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, мы получим, что плотность силы Лоренца равна

где: (< displaystyle rho _> ) - плотность бесплатного заряда (< displaystyle mathbf

> ) - плотность поляризации (< displaystyle mathbf _> ) - плотность свободного тока, а (< displaystyle mathbf > ) - плотность намагниченности. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна

Уравнение в единицах cgs

В приведенных выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространенными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В cgs-гауссовых единицах, которые несколько более распространены среди физиков-теоретиков, а также среди экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого

где c это скорость света. Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку имеет следующие соотношения: & # 911 & # 93

где ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ0 вакуумная проницаемость. На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна оцениваться из контекста.


СОДЕРЖАНИЕ

Научный закон всегда применяется к физической системе в повторяющихся условиях и подразумевает наличие причинно-следственной связи между элементами системы. Фактические и хорошо подтвержденные утверждения, такие как «Ртуть жидкая при стандартной температуре и давлении», считаются слишком конкретными, чтобы их можно было квалифицировать как научные законы. Центральная проблема философии науки, восходящая к Дэвиду Юму, состоит в том, чтобы отличить причинные отношения (например, подразумеваемые законами) от принципов, возникающих из-за постоянного соединения. [6]

Законы отличаются от научных теорий тем, что они не постулируют механизм или объяснение явлений: они просто квинтэссенция результатов многократного наблюдения. Таким образом, применимость закона ограничена обстоятельствами, напоминающими уже наблюдаемые, и при экстраполяции закон может быть признан ложным. Закон Ома применяется только к линейным сетям. Закон всемирного тяготения Ньютона применяется только в слабых гравитационных полях; ранние законы аэродинамики, такие как принцип Бернулли, не применяются в случае сжимаемого потока, который имеет место при трансзвуковом и сверхзвуковом полете. для деформации ниже предела упругости закон Бойля применим с идеальной точностью только к идеальному газу и т. д. Эти законы остаются полезными, но только при определенных условиях, в которых они применяются.

Подобно теориям и гипотезам, законы делают конкретные предсказания, они предсказывают, что новые наблюдения будут соответствовать данному закону. Законы могут быть фальсифицированы, если они будут обнаружены в противоречии с новыми данными.

Некоторые законы являются лишь приближениями к другим более общим законам и являются хорошими приближениями с ограниченной областью применимости. Например, ньютоновская динамика (основанная на преобразованиях Галилея) - это низкоскоростной предел специальной теории относительности (поскольку преобразование Галилея представляет собой низкоскоростное приближение к преобразованию Лоренца). Точно так же закон тяготения Ньютона является маломассивным приближением общей теории относительности, а закон Кулона - приближением квантовой электродинамики на больших расстояниях (по сравнению с диапазоном слабых взаимодействий). В таких случаях обычно используются более простые приблизительные версии законов вместо более точных общих законов.

Законы постоянно подвергаются экспериментальной проверке с возрастающей степенью точности, что является одной из основных целей науки. Тот факт, что законы никогда не нарушались, не препятствует их проверке с повышенной точностью или в новых условиях, чтобы подтвердить, продолжают ли они соблюдаться или нарушаются, и что можно обнаружить в процессе. Всегда возможно, что законы будут признаны недействительными или будут доказаны ограничения с помощью повторяемых экспериментальных данных, если они будут соблюдены. Хорошо установленные законы действительно были признаны недействительными в некоторых особых случаях, но новые формулировки, созданные для объяснения несоответствий, обобщают, а не опровергают оригиналы. То есть было обнаружено, что признанные недействительными законы являются лишь близкими приближениями, к которым необходимо добавить другие условия или факторы, чтобы охватить ранее неучтенные условия, например очень большие или очень маленькие масштабы времени или пространства, огромные скорости или массы и т. д. Таким образом, вместо неизменных знаний физические законы лучше рассматривать как серию улучшающихся и более точных обобщений.

Научные законы, как правило, представляют собой выводы, основанные на многократных научных экспериментах и ​​наблюдениях в течение многих лет, и которые стали общепринятыми в научном сообществе. Научный закон «выводится из определенных фактов, применим к определенной группе или классу явлений и выражается утверждением, что конкретное явление всегда происходит при наличии определенных условий». [7] Создание краткого описания нашей окружающей среды в форме таких законов является фундаментальной целью науки.

Были определены несколько общих свойств научных законов, особенно когда речь идет о законах в физике. Научные законы:

  • Верно, по крайней мере, в пределах их срока действия. По определению, никогда не было повторяемых противоречащих друг другу наблюдений.
  • Универсальный. Похоже, они применимы повсюду во Вселенной. [8]: 82
  • Простой. Обычно они выражаются одним математическим уравнением.
  • Абсолютно. Кажется, ничто во вселенной не влияет на них. [8]: 82
  • Стабильный. Не изменились с момента первого открытия (хотя, возможно, было показано, что они являются приближениями более точных законов),
  • Всеохватывающий. По-видимому, все во Вселенной должно им соответствовать (согласно наблюдениям).
  • Обычно консервативное количество. [9]: 59
  • Часто выражения существующих однородностей (симметрий) пространства и времени. [9]
  • Обычно теоретически обратимо во времени (если не квантово), хотя само время необратимо. [9]

Термин «научный закон» традиционно ассоциируется с естественными науками, хотя социальные науки также содержат законы. [10] Например, закон Ципфа - это закон в социальных науках, основанный на математической статистике. В этих случаях законы могут описывать общие тенденции или ожидаемое поведение, а не быть абсолютными.

В естествознании утверждения о невозможности получают широкое признание как в высшей степени вероятные, а не как доказанные до такой степени, что их невозможно оспорить. Основанием для этого сильного признания является комбинация обширных свидетельств того, что чего-то не происходит, в сочетании с лежащей в основе теорией, очень успешной в создании прогнозов, предположения которых логически приводят к выводу, что что-то невозможно. Хотя утверждение о невозможности в естествознании никогда не может быть полностью доказано, оно может быть опровергнуто наблюдением единственного контрпримера. Такой контрпример потребует пересмотра предположений, лежащих в основе теории, предполагающей невозможность.

Некоторыми примерами широко признанных невозможностей в физике являются вечные двигатели, которые нарушают закон сохранения энергии, превышая скорость света, что нарушает последствия специальной теории относительности, принцип неопределенности квантовой механики, который утверждает невозможность одновременного знания положение и импульс частицы, а также теорема Белла: никакая физическая теория локальных скрытых переменных никогда не может воспроизвести все предсказания квантовой механики.

Некоторые законы отражают математические симметрии, обнаруженные в Природе (например, принцип исключения Паули отражает идентичность электронов, законы сохранения отражают однородность пространства и времени, а преобразования Лоренца отражают вращательную симметрию пространства-времени). Многие фундаментальные физические законы являются математическими следствиями различных симметрий пространства, времени или других аспектов природы. В частности, теорема Нётер связывает некоторые законы сохранения с определенными симметриями. Например, сохранение энергии является следствием сдвиговой симметрии времени (ни один момент времени не отличается от любого другого), в то время как сохранение количества движения является следствием симметрии (однородности) пространства (нет места в пространстве особенного, или отличается от любого другого). Неразличимость всех частиц каждого фундаментального типа (скажем, электронов или фотонов) приводит к квантовой статистике Дирака и Бозе, которая, в свою очередь, приводит к принципу исключения Паули для фермионов и к конденсации Бозе – Эйнштейна для бозонов. Вращательная симметрия между осями координат времени и пространства (когда одна принимается за воображаемую, а другая за реальную) приводит к преобразованиям Лоренца, которые, в свою очередь, приводят к специальной теории относительности. Симметрия между инерционной и гравитационной массой приводит к общей теории относительности.

Закон обратных квадратов взаимодействий, опосредованных безмассовыми бозонами, является математическим следствием трехмерности пространства.

Одна из стратегий поиска наиболее фундаментальных законов природы - это поиск наиболее общей математической группы симметрии, которая может быть применена к фундаментальным взаимодействиям.

Законы о сохранении править

Сохранение и симметрия Править

Законы сохранения - это фундаментальные законы, которые вытекают из однородности пространства, времени и фазы, другими словами. симметрия.

  • Теорема Нётер: Любая величина, имеющая непрерывную дифференцируемую симметрию действия, имеет соответствующий закон сохранения. был первым понятым законом этого типа, поскольку большинство макроскопических физических процессов, связанных с массами, например, столкновения массивных частиц или потока жидкости, предполагают очевидное убеждение в том, что масса сохраняется. Сохранение массы наблюдалось для всех химических реакций. В общем, это только приблизительное значение, потому что с появлением теории относительности и экспериментов в ядерной физике и физике элементарных частиц: масса может быть преобразована в энергию и наоборот, поэтому масса не всегда сохраняется, а является частью более общего закона сохранения массы-энергии.
  • Сохранение энергии, импульс а также угловой момент для изолированных систем можно найти симметрии во времени, переносе и вращении.
  • Сохранение заряда был также реализован, так как никогда не наблюдалось создания или уничтожения заряда, а было обнаружено, что он только перемещается с места на место.

Преемственность и переход Править

Законы сохранения могут быть выражены с помощью общего уравнения неразрывности (для сохраняющейся величины) могут быть записаны в дифференциальной форме как:

где ρ - некоторое количество в единице объема, J - это поток этой величины (изменение количества в единицу времени на единицу площади). Интуитивно, дивергенция (обозначенная ∇ •) векторного поля - это мера потока, расходящегося радиально наружу от точки, поэтому отрицательным является величина, накапливающаяся в точке, следовательно, скорость изменения плотности в области пространства должна быть количеством флюса, покидающего или собираемого в каком-либо регионе (подробности см. в основной статье). В таблице ниже для сравнения собраны потоки, потоки для различных физических величин в переносе и связанные с ними уравнения неразрывности.

Более общие уравнения - это уравнение конвекции-диффузии и уравнение переноса Больцмана, корни которых лежат в уравнении неразрывности.

Законы классической механики Править

Принцип наименьшего действия Править

Классическая механика, включая законы Ньютона, уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона и т. Д., Может быть выведена из следующего принципа:

физической системы между двумя временами т1 а также т2. Кинетическая энергия системы равна Т (функция скорости изменения конфигурации системы), а потенциальная энергия равна V (функция конфигурации и скорости ее изменения). Конфигурация системы, имеющей N степени свободы определяется обобщенными координатами q = (q1, q2, . qN).

Этим координатам сопряжены обобщенные импульсы: п = (п1, п2, . пN), где:

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы на все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, начерченной системой в терминах обобщенных координат в конфигурационном пространстве, то есть кривой q(т), параметризованный временем (см. также параметрическое уравнение для этой концепции).

Действие - это функциональный а не функция, поскольку он зависит от лагранжиана, а лагранжиан - от пути q(т), поэтому действие зависит от весь «форма» пути на все времена (на временном интервале от т1 к т2). Между двумя моментами времени существует бесконечно много путей, но тот, для которого действие стационарно (до первого порядка), является истинным путем. Стационарное значение для весь континуум лагранжевых значений, соответствующих некоторому пути, не одно значение лагранжиана, требуется (другими словами, это нет так же просто, как «дифференцировать функцию и установить ее на ноль, а затем решить уравнения, чтобы найти точки максимумов и минимумов и т. д.», скорее эта идея применяется ко всей «форме» функции, см. вариационное исчисление для более подробной информации по этой процедуре). [11]

Уведомление L является нет полная энергия E системы из-за разницы, а не суммы:

Следующие [12] [13] общие подходы к классической механике кратко излагаются ниже в порядке установления. Это эквивалентные формулировки. Обычно используются уравнения Ньютона из-за простоты, но уравнения Гамильтона и Лагранжа являются более общими, и их диапазон может распространяться на другие разделы физики с соответствующими модификациями.

Используя определение обобщенного импульса, есть симметрия:

Гамильтониан как функция обобщенных координат и импульсов имеет общий вид:

Это решения теории относительности с низким пределом. Альтернативными формулировками ньютоновой механики являются лагранжева и гамильтонова механика.

Законы можно резюмировать двумя уравнениями (поскольку первое является частным случаем второго, нулевое результирующее ускорение):

где п = импульс тела, Fij = сила на тело я от тело j, Fцзи = сила на тело j от тело я.

Для динамической системы два уравнения (эффективно) объединяются в одно:

в котором FE = результирующая внешняя сила (вызванная любым агентом, не являющимся частью системы). Тело я не оказывает на себя силы.

Из вышесказанного можно вывести любое уравнение движения в классической механике.

Уравнения, описывающие течение жидкости в различных ситуациях, могут быть получены с использованием приведенных выше классических уравнений движения и часто с сохранением массы, энергии и количества движения. Далее следуют несколько элементарных примеров.

Законы гравитации и относительности Править

Некоторые из наиболее известных законов природы можно найти в теориях (ныне) классической механики Исаака Ньютона, представленных в его Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, и в теории относительности Альберта Эйнштейна.

Современные законы Править

Постулаты специальной теории относительности сами по себе не «законы», а предположения об их природе с точки зрения относительное движение.

Часто два формулируются как «законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета» и «скорость света постоянна». Однако второй вариант является избыточным, поскольку скорость света предсказывается уравнениями Максвелла. По сути, только один.

Указанный постулат приводит к преобразованиям Лоренца - закону преобразования между двумя движущимися относительно друг друга системами отсчета. Для любого 4-вектора

это заменяет закон преобразования Галилея из классической механики. Преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея для малых скоростей, намного меньших скорости света. c.

Величины 4-векторов являются инвариантами - нет «сохраняется», но одинаково для всех инерциальных систем отсчета (т.е. каждый наблюдатель в инерциальной системе отсчета согласится с одним и тем же значением), в частности, если А это четырехимпульс, величина может вывести известное инвариантное уравнение для сохранения массы-энергии и импульса (см. инвариантная масса):

в котором (более известная) эквивалентность массы и энергии E = MC 2 - особый случай.

Общая теория относительности регулируется уравнениями поля Эйнштейна, которые описывают кривизну пространства-времени из-за массы-энергии, эквивалентной гравитационному полю. Решение уравнения геометрии пространства, искривленного из-за распределения масс, дает метрический тензор. Используя уравнение геодезических, можно рассчитать движение масс, падающих по геодезическим.

В относительно плоском пространстве-времени из-за слабых гравитационных полей можно найти гравитационные аналоги уравнений Максвелла: Уравнения GEM, чтобы описать аналогичный гравитомагнитное поле. Они прочно обоснованы теорией, а экспериментальные испытания являются основой текущих исследований. [14]

где Γ - символ Кристоффеля второго рода, содержащий метрику.

Если грамм гравитационное поле и ЧАС В гравитомагнитном поле решениями в этих пределах являются:

где ρ - массовая плотность, а J - массовая плотность тока или массовый поток.

где м - масса покоя частицы, γ - фактор Лоренца.

Классические законы Править

Законы Кеплера, хотя они были первоначально открыты в результате планетных наблюдений (в том числе Тихо Браге), верны для любого центральные силы. [15]

При неоднородном массовом распределении локальной плотности массы ρ (р) тела объема V, это становится:

Эквивалентное утверждение закона Ньютона:

- эксцентриситет эллиптической орбиты большой полуоси а и малая полуось б, а также л представляет собой прямую половину прямой кишки. Само по себе это уравнение не является физически фундаментальным, просто полярное уравнение эллипса, в котором полюс (начало полярной системы координат) расположен в фокусе эллипса, где находится вращающаяся звезда.

где L орбитальный угловой момент частицы (т.е. планеты) с массой м о фокусе орбиты,

где M - масса центрального тела (т.е. звезды).

Термодинамика Править

Второй закон термодинамики: Есть много утверждений этого закона, возможно, самое простое - «энтропия изолированных систем никогда не уменьшается»,

это означает, что обратимые изменения имеют нулевое изменение энтропии, необратимые процессы положительны, а невозможные процессы отрицательны.

Нулевой закон термодинамики: Если две системы находятся в тепловом равновесии с третьей системой, то они находятся в тепловом равновесии друг с другом. T A знак равно T B, T B = T C ⇒ T A = T C < displaystyle T_ = T_ ,, Т_= T_ Стрелка вправо T_ = T_,!>

Электромагнетизм Править

Уравнения Максвелла дают временную эволюцию электрического и магнитного полей из-за распределения электрического заряда и тока. С учетом полей закон силы Лоренца представляет собой уравнение движения зарядов в полях.

Эти уравнения можно модифицировать, чтобы включить магнитные монополи, и они согласуются с нашими наблюдениями монополей, существующих или не существующих, если они не существуют, обобщенные уравнения сводятся к приведенным выше, если они есть, уравнения становятся полностью симметричными по электричеству и электричеству. магнитные заряды и токи. Действительно, существует преобразование дуальности, при котором электрические и магнитные заряды могут «вращаться друг в друге» и при этом удовлетворять уравнениям Максвелла.

Эти законы были найдены до формулировки уравнений Максвелла. Они не являются фундаментальными, поскольку могут быть выведены из уравнений Максвелла. Закон Кулона можно найти из закона Гаусса (электростатическая форма), а закон Био-Савара можно вывести из закона Ампера (магнитостатическая форма). Закон Ленца и закон Фарадея могут быть включены в уравнение Максвелла-Фарадея. Тем не менее, они по-прежнему очень эффективны для простых вычислений.

Фотоника Править

Классически оптика основана на вариационном принципе: свет перемещается из одной точки пространства в другую за кратчайшее время.

В геометрической оптике законы основаны на приближениях в евклидовой геометрии (например, параксиальном приближении).

В физической оптике законы основаны на физических свойствах материалов.

На самом деле оптические свойства материи значительно сложнее и требуют квантовой механики.

Законы квантовой механики Править

Квантовая механика уходит корнями в постулаты. Это приводит к результатам, которые обычно не называют «законами», но имеют тот же статус, поскольку из них следует вся квантовая механика.

Один постулат, что частица (или система многих частиц) описывается волновой функцией, и это удовлетворяет квантовому волновому уравнению: а именно уравнению Шредингера (которое может быть записано как нерелятивистское волновое уравнение или релятивистское волновое уравнение) . Решение этого волнового уравнения предсказывает эволюцию поведения системы во времени, аналогично решению законов Ньютона в классической механике.

Другие постулаты меняют представление о физических наблюдаемых с помощью квантовых операторов. Некоторые измерения нельзя проводить в один и тот же момент времени (принципы неопределенности), частицы принципиально неразличимы. Другой постулат - постулат коллапса волновой функции - противоречит обычной идее измерения в науке.

Уравнение Шредингера (общий вид): Описывает временную зависимость квантово-механической системы.

Гамильтониан (в квантовой механике) ЧАС - самосопряженный оператор, действующий в пространстве состояний, | ψ⟩ < displaystyle | psi rangle> (см. обозначение Дирака) - вектор мгновенного квантового состояния в момент времени т, должность р, я мнимое число, час = час/ 2π - приведенная постоянная Планка.

Закон Планка – Эйнштейна: энергия фотонов пропорциональна частоте света (постоянная - постоянная Планка, час).

Длина волны де Бройля: это заложило основы дуальности волна-частица и было ключевым понятием в уравнении Шредингера,

Принцип неопределенности Гейзенберга: Неопределенность положения, умноженная на неопределенность количества движения, составляет не менее половины приведенной постоянной Планка, аналогично для времени и энергии.

Принцип неопределенности можно обобщить на любую пару наблюдаемых - см. Основную статью.

где ря это положение частицы я, а также s - спин частицы. Невозможно отслеживать частицы физически, метки используются только математически, чтобы избежать путаницы.

Законы о радиации Править

Применяя электромагнетизм, термодинамику и квантовую механику к атомам и молекулам, некоторые законы электромагнитного излучения и света заключаются в следующем.

Химические законы относятся ли эти законы природы к химии. Исторически наблюдения привели к появлению множества эмпирических законов, хотя теперь известно, что химия имеет свои основы в квантовой механике.

Самая фундаментальная концепция в химии - это закон сохранения массы, который гласит, что во время обычной химической реакции не происходит заметного изменения количества вещества. Современная физика показывает, что на самом деле сохраняется энергия, а энергия и масса связаны между собой - понятие, которое становится важным в ядерной химии. Сохранение энергии приводит к важным концепциям равновесия, термодинамики и кинетики.

Дополнительные законы химии развивают закон сохранения массы. Закон определенного состава Джозефа Пруста гласит, что чистые химические вещества состоят из элементов в определенной формулировке, и теперь мы знаем, что структурное расположение этих элементов также важно.

Закон множественных пропорций Дальтона гласит, что эти химические вещества будут представлены в пропорциях, которые представляют собой небольшие целые числа, хотя во многих системах (особенно в биомакромолекулах и минералах) соотношения, как правило, требуют больших чисел и часто представлены в виде дробей.

Закон определенного состава и закон множественных пропорций - это первые два из трех законов стехиометрии, пропорции, в которых химические элементы объединяются, образуя химические соединения. Третий закон стехиометрии - это закон взаимных пропорций, который обеспечивает основу для установления эквивалентных весов для каждого химического элемента. Затем можно использовать эквивалентные веса элементов для получения атомных весов для каждого элемента.

Более современные законы химии определяют взаимосвязь между энергией и ее преобразованиями.

  • В равновесии молекулы существуют в смеси, определяемой превращениями, возможными на шкале времени равновесия, и находятся в соотношении, определяемом внутренней энергией молекул - чем ниже собственная энергия, тем более многочисленна молекула. Принцип Ле Шателье гласит, что система противостоит изменениям условий из состояний равновесия, то есть существует противодействие изменению состояния равновесной реакции.
  • Преобразование одной структуры в другую требует ввода энергии для преодоления энергетического барьера, который может исходить от внутренней энергии самих молекул или от внешнего источника, который обычно ускоряет преобразования. Чем выше энергетический барьер, тем медленнее происходит превращение.
  • Есть гипотетический промежуточный продукт, или переходная структура, что соответствует структуре на вершине энергетического барьера. Постулат Хаммонда-Леффлера утверждает, что эта структура больше всего похожа на продукт или исходный материал, имеющий внутреннюю энергию, наиболее близкую к энергии энергетического барьера. Стабилизация этого гипотетического промежуточного продукта посредством химического взаимодействия - один из способов достижения катализа.
  • Все химические процессы обратимы (закон микроскопической обратимости), хотя некоторые процессы имеют такой сдвиг энергии, что они по существу необратимы.
  • Скорость реакции имеет математический параметр, известный как константа скорости. Уравнение Аррениуса дает зависимость константы скорости от температуры и энергии активации - эмпирический закон.

Естественный отбор Править

Вопрос о том, является ли естественный отбор «законом природы», вызывает споры среди биологов. [16] [17] Генри Байерли, американский философ, известный своими работами по теории эволюции, обсудил проблему интерпретации принципа естественного отбора как закона. Он предложил формулировку естественного отбора как рамочного принципа, который может способствовать лучшему пониманию теории эволюции. [17] Его подход заключался в выражении относительной приспособленности, склонности генотипа к увеличению пропорционального представительства в конкурентной среде как функции адаптированности (адаптивного дизайна) организма.

Некоторые математические теоремы и аксиомы называются законами, потому что они обеспечивают логическое обоснование эмпирических законов.

Примеры других наблюдаемых явлений, иногда описываемых как законы, включают закон положения планет Тициуса – Боде, закон лингвистики Ципфа и закон технологического роста Мура. Многие из этих законов относятся к сфере неудобной науки. Другие законы прагматичны и основаны на наблюдении, например, закон о непредвиденных последствиях. По аналогии, принципы в других областях исследования иногда вольно называются «законами». К ним относятся бритва Оккама как принцип философии и принцип Парето в экономике.

Наблюдение и обнаружение основных закономерностей в природе восходит к доисторическим временам - признание причинно-следственных связей неявно признает существование законов природы. Признание таких закономерностей, как независимые научные законы как таковойоднако, он был ограничен их вовлеченностью в анимизм и приписыванием многих эффектов, не имеющих очевидных причин, таких как физические явления, действиям богов, духов, сверхъестественных существ и т. д. неразрывно связано с метафизикой и моралью.

В Европе систематическое теоретизирование о природе (физический) началось с ранних греческих философов и ученых и продолжалось в периоды эллинистической и римской империи, в течение которых интеллектуальное влияние римского права становилось все более важным.

Формула «закон природы» сначала появляется как «живая метафора», которую предпочитали латинские поэты Лукреций, Вергилий, Овидий, Манилий, со временем получив прочное теоретическое присутствие в прозаических трактатах Сенеки и Плиния. Почему это римское происхождение? Согласно убедительному рассказу [историка и классика Дарина] Лехукса [18], эта идея стала возможной благодаря ключевой роли кодифицированного права и судебной аргументации в римской жизни и культуре.

Для римлян. . . главным местом, где пересекаются этика, закон, природа, религия и политика, является суд. Когда мы читаем Сенеки Естественные вопросыи снова и снова наблюдая за тем, как он применяет стандарты доказательств, оценки свидетелей, аргументов и доказательств, мы можем признать, что мы читаем одного из великих римских риторов того времени, полностью погруженного в методы судебной экспертизы. И не только Сенека. Юридические модели научного суждения появляются повсюду и, например, оказываются в равной степени неотъемлемой частью подхода Птолемея к проверке, где разуму отводится роль магистрата, чувствам - раскрытие доказательств, а диалектическому разуму - самого закона. . [19]

Точная формулировка того, что сейчас признано современными и достоверными формулировками законов природы, восходит к XVII веку в Европе, с началом точных экспериментов и развитием передовых форм математики. В этот период натурфилософы, такие как Исаак Ньютон (1642-1727), находились под влиянием религиозного взгляда, вытекающего из средневековых концепций божественного закона, который утверждал, что Бог установил абсолютные, универсальные и неизменные физические законы.[20] [21] В главе 7 книги Мир, Рене Декарт (1596-1650) описал «природу» как саму материю, неизменную, созданную Богом, поэтому изменения в частях «должны быть приписаны природе. Правила, в соответствии с которыми происходят эти изменения, я называю« законами природы ». '. " [22] Современный научный метод, оформившийся в то время (с Фрэнсисом Бэконом (1561-1626) и Галилеем (1564-1642)), способствовал тенденции отделения науки от теологии с минимальными размышлениями о метафизике и этике. (Естественный закон в политическом смысле, задуманный как универсальный (т.е. отделенный от сектантской религии и случайностей места), также был разработан в этот период такими учеными, как Гроций (1583-1645), Спиноза (1632-1677) и Гоббс. (1588-1679).)

Различие между естественным правом в политико-правовом смысле и законом природы или физическим законом в научном смысле является современным, причем обе концепции в равной степени вытекают из физический, греческое слово (переводится на латынь как природа) для природа. [23]


СОДЕРЖАНИЕ

Импульс - это векторная величина: она имеет как величину, так и направление. Поскольку импульс имеет направление, его можно использовать для прогнозирования результирующего направления и скорости движения объектов после столкновения. Ниже основные свойства импульса описаны в одном измерении. Векторные уравнения почти идентичны скалярным уравнениям (см. Множественные измерения).

Одиночная частица

Импульс частицы условно обозначается буквой п . Это произведение двух величин, массы частицы (обозначается буквой м ) и его скорость ( v ): [1]

Единица количества движения - это произведение единиц массы и скорости. В единицах СИ, если масса выражена в килограммах, а скорость - в метрах в секунду, то импульс выражается в килограммах-метрах в секунду (кг · м / с). В единицах cgs, если масса выражена в граммах, а скорость - в сантиметрах в секунду, импульс выражается в граммах сантиметрах в секунду (г⋅см / с).

Будучи вектором, импульс имеет величину и направление. Например, модель самолета весом 1 кг, летящая на север со скоростью 1 м / с в прямом и горизонтальном полете, имеет импульс 1 кг · м / с на севере, измеренный относительно земли.

Множество частиц

Импульс системы частиц - это векторная сумма их импульсов. Если две частицы имеют соответствующие массы м1 а также м2 , и скорости v1 а также v2 , полный импульс равен

В более общем случае импульсы более двух частиц можно сложить следующим образом:

Система частиц имеет центр масс, точку, определяемую взвешенной суммой их положений:

Если одна или несколько частиц движутся, центр масс системы, как правило, также будет перемещаться (если только система не вращается вокруг него в чистом виде). Если общая масса частиц равна m < displaystyle m>, а центр масс движется со скоростью vсм , импульс системы равен:

Отношение к силе

Если результирующая сила F, приложенная к частице, постоянна и применяется в течение интервала времени Δт , импульс частицы изменяется на величину

В дифференциальной форме это второй закон Ньютона: скорость изменения импульса частицы равна мгновенной силе F, действующей на нее, [1]

Если результирующая сила, испытываемая частицей, изменяется как функция времени, F(т), изменение импульса (или импульса J) между временами т1 а также т2 является

Импульс измеряется в производных единицах ньютон-секунда (1 Н · с = 1 кг · м / с) или дин-секунда (1 дин · с = 1 г · см / с).

В предположении постоянной массы m это эквивалентно записи

следовательно, результирующая сила равна массе частицы, умноженной на ее ускорение. [1]

Пример: Модель самолета массой 1 кг ускоряется из состояния покоя до скорости 6 м / с на север за 2 с. Чистая сила, необходимая для создания этого ускорения, составляет 3 ньютона на север. Изменение импульса на север составляет 6 кгм / с. Скорость изменения количества движения составляет 3 (кг · м / с) / с на север, что численно эквивалентно 3 ньютонам.

Сохранение

с отрицательным знаком, указывающим, что силы противостоят. Эквивалентно,

Если скорости частиц равны ты1 а также ты2 до взаимодействия, а после они v1 а также v2 , тогда

Этот закон выполняется независимо от того, насколько сложна сила между частицами. Точно так же, если есть несколько частиц, импульс, которым обмениваются каждая пара частиц, прибавляется к нулю, так что полное изменение импульса равно нулю. Этот закон сохранения применяется ко всем взаимодействиям, включая столкновения и разделения, вызванные взрывными силами. [4] Его также можно обобщить на ситуации, когда законы Ньютона не выполняются, например, в теории относительности и в электродинамике. [6]

Зависимость от системы отсчета

Импульс - это измеримая величина, и измерение зависит от движения наблюдателя. Например: если яблоко сидит в стеклянном лифте, который спускается, сторонний наблюдатель, глядя в лифт, видит, как яблоко движется, поэтому для этого наблюдателя у яблока есть ненулевой импульс. Для кого-то внутри лифта яблоко не движется, поэтому у него нулевой импульс. У каждого из двух наблюдателей есть система координат, в которой они наблюдают за движениями, и, если лифт неуклонно спускается, они увидят поведение, которое согласуется с теми же физическими законами.

Предположим, что частица имеет положение Икс в стационарной системе отсчета. С точки зрения другой системы отсчета, движение с постоянной скоростью ты , положение (обозначенное штрихованной координатой) изменяется со временем как

С ты не меняется, ускорения такие же:

Таким образом, импульс сохраняется в обеих системах отсчета. Более того, пока сила имеет одинаковую форму, в обеих системах отсчета второй закон Ньютона остается неизменным. Этому критерию удовлетворяют такие силы, как ньютоновская гравитация, которые зависят только от скалярного расстояния между объектами. Эта независимость системы отсчета называется ньютоновской относительностью или галилеевой инвариантностью. [7]

Смена системы отсчета часто может упростить расчет движения. Например, при столкновении двух частиц можно выбрать систему отсчета, в которой одна частица начинается в состоянии покоя. Другой, обычно используемой системой отсчета является система отсчета центра масс, которая движется вместе с центром масс. В этом кадре полный импульс равен нулю.

Применение к столкновениям

Самого по себе закона сохранения количества движения недостаточно, чтобы определить движение частиц после столкновения. Необходимо знать еще одно свойство движения - кинетическую энергию. Это не обязательно сохраняется. Если он сохраняется, столкновение называется упругое столкновение если нет, то это неупругое столкновение.

Упругие столкновения

При упругом столкновении кинетическая энергия не преобразуется в тепло или другую форму энергии. Совершенно упругие столкновения могут происходить, когда объекты не касаются друг друга, как, например, при атомном или ядерном рассеянии, когда электрическое отталкивание разделяет объекты. Маневр рогатки спутника вокруг планеты также можно рассматривать как совершенно упругое столкновение. Столкновение двух бильярдных шаров - хороший пример почти полностью упругое столкновение из-за их высокой жесткости, но при контакте тел всегда возникает некоторая диссипация. [8]

Лобовое упругое столкновение между двумя телами может быть представлено скоростями в одном измерении вдоль линии, проходящей через тела. Если скорости равны ты1 а также ты2 до столкновения и v1 а также v2 после этого уравнения, выражающие сохранение количества движения и кинетической энергии:

В общем, когда известны начальные скорости, конечные скорости даются [9]

Если одно тело имеет гораздо большую массу, чем другое, его скорость будет мало затронута столкновением, в то время как другое тело испытает большие изменения.

Неупругие столкновения

При неупругом столкновении часть кинетической энергии сталкивающихся тел преобразуется в другие формы энергии (например, тепло или звук). Примеры включают дорожные столкновения [10], в которых эффект потери кинетической энергии можно увидеть в повреждении транспортных средств, электроны теряют часть своей энергии атомам (как в эксперименте Франка-Герца) [11] и ускорители частиц в кинетическая энергия которых преобразуется в массу в виде новых частиц.

При совершенно неупругом столкновении (например, при ударе жука о лобовое стекло) оба тела после этого совершают одинаковое движение. Лобовое неупругое столкновение между двумя телами может быть представлено скоростями в одном измерении вдоль линии, проходящей через тела. Если скорости равны ты1 а также ты2 перед столкновением, то при совершенно неупругом столкновении оба тела будут двигаться со скоростью v после столкновения. Уравнение, выражающее сохранение импульса:

Одним из показателей неупругости столкновения является коэффициент восстановления Cр , определяемая как отношение относительной скорости отрыва к относительной скорости приближения. Применяя эту меру к мячу, отскакивающему от твердой поверхности, это можно легко измерить, используя следующую формулу: [12]

Уравнения импульса и энергии также применимы к движениям объектов, которые начинаются вместе, а затем расходятся. Например, взрыв является результатом цепной реакции, которая преобразует потенциальную энергию, хранящуюся в химической, механической или ядерной форме, в кинетическую энергию, акустическую энергию и электромагнитное излучение. В ракетах также используется принцип сохранения импульса: топливо выталкивается наружу, набирая импульс, и ракете передается равный и противоположный импульс. [13]

Несколько измерений

Реальное движение имеет направление и скорость и должно быть представлено вектором. В системе координат с Икс, у, z оси, скорость имеет компоненты vИкс в Икс -направление, vу в у -направление, vz в z -направление. Вектор выделен жирным шрифтом: [14]

Точно так же импульс является векторной величиной и обозначается жирным шрифтом:

Уравнения из предыдущих разделов работают в векторной форме, если скаляры п а также v заменяются векторами п а также v . Каждое векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения. Например,

представляет собой три уравнения: [14]

Уравнения кинетической энергии являются исключением из приведенного выше правила замены. Уравнения по-прежнему одномерные, но каждый скаляр представляет величину вектора, например,

Каждое векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения. Часто координаты могут быть выбраны так, что нужны только два компонента, как на рисунке. Каждый компонент может быть получен отдельно, а результаты объединены для получения векторного результата. [14]

Простая конструкция, включающая центр масс, может быть использована, чтобы показать, что если неподвижная упругая сфера столкнется с движущейся сферой, они двинутся под прямым углом после столкновения (как на рисунке). [15]

Объекты переменной массы

Это уравнение неправильно описывает движение объектов переменной массы. Правильное уравнение

где ты - скорость выброшенной / аккрецированной массы как видно в рамке покоя объекта. [16] Это отличается от v , которая представляет собой скорость самого объекта в инерциальной системе отсчета.

Это уравнение выводится путем отслеживания как импульса объекта, так и импульса выброшенной / аккрецированной массы (дм). При совместном рассмотрении объект и масса (дм) представляют собой замкнутую систему, в которой сохраняется полный импульс.

P (t + d t) = (m - d m) (v + d v) + d m (v - u) = m v + m d v - u d m = P (t) + m d v - u d m

Лоренц-инвариантность

Ньютоновская физика предполагает, что абсолютное время и пространство существуют вне любого наблюдателя, что приводит к галилеевой инвариантности. Это также приводит к предсказанию того, что скорость света может изменяться от одной системы отсчета к другой. Это противоречит наблюдениям. В специальной теории относительности Эйнштейн придерживается постулата о том, что уравнения движения не зависят от системы отсчета, но предполагает, что скорость света c инвариантен. В результате положение и время в двух системах отсчета связаны преобразованием Лоренца вместо преобразования Галилея. [17]

Рассмотрим, например, одну систему отсчета, движущуюся относительно другой со скоростью v в Икс направление. Преобразование Галилея дает координаты движущейся системы отсчета как

а преобразование Лоренца дает [18]

Второй закон Ньютона с фиксированной массой не инвариантен относительно преобразования Лоренца. Однако его можно сделать инвариантным, сделав инертная масса м объекта как функция скорости:

В рамках классической механики релятивистский импульс близко аппроксимирует ньютоновский импульс: при низкой скорости γm0v примерно равно м0v , ньютоновское выражение для импульса.

Четырехвекторная формулировка

В специальной теории относительности физические величины выражаются в терминах четырех векторов, которые включают время в качестве четвертой координаты наряду с тремя пространственными координатами. Эти векторы обычно обозначаются заглавными буквами, например р для позиции. Выражение для четырехимпульсный зависит от того, как выражены координаты. Время может быть дано в его обычных единицах или умножено на скорость света, так что все компоненты четырехвектора имеют размерность длины. Если используется последнее масштабирование, интервал собственного времени, τ , определенный в [20]

инвариантен относительно преобразований Лоренца (в этом выражении и в дальнейшем использовалась метрическая сигнатура (+ - - -), разные авторы используют разные соглашения). Математически эту инвариантность можно обеспечить одним из двух способов: рассматривая четыре вектора как евклидовы векторы и умножая время на √ −1, или сохраняя время как действительную величину и встраивая векторы в пространство Минковского. [21] В пространстве Минковского скалярное произведение двух четырехмерных векторов U = (U0, U1, U2, U3) а также V = (V0, V1, V2, V3) определяется как

Во всех системах координат (контравариантная) релятивистская четырехскорость определяется соотношением

а (контравариантный) четырехимпульс равен

где м0 - инвариантная масса. Если р = (ct, Икс, у, z) (в пространстве Минковского), то

Используя эквивалентность массы и энергии Эйнштейна, E = MC 2, это можно переписать как

Таким образом, сохранение четырехимпульса лоренц-инвариантно и подразумевает сохранение как массы, так и энергии.

Величина четырехвектора импульса равна м0c :

и инвариантен для всех систем отсчета.

Релятивистское соотношение энергии и импульса сохраняется даже для безмассовых частиц, таких как фотоны, если положить м0 = 0 следует, что

В игре в релятивистский «бильярд», если неподвижная частица сталкивается с движущейся частицей при упругом столкновении, пути, образованные этими двумя впоследствии, образуют острый угол. Это отличается от нерелятивистского случая, когда они движутся под прямым углом. [22]

Четырехимпульс плоской волны можно связать с волновым четырехвектором [23]

Для частицы соотношение между временными компонентами, E = час ω , - соотношение Планка – Эйнштейна, а соотношение между пространственными компонентами, п = час k , описывает волну материи де Бройля.

Законы Ньютона трудно применить ко многим видам движения, потому что движение ограничено ограничения. Например, бусинка на абаке вынуждена двигаться вдоль проволоки, а маятник вынужден качаться на фиксированном расстоянии от оси вращения. Многие из таких ограничений могут быть включены путем изменения обычных декартовых координат на набор обобщенные координаты их может быть меньше. [24] Разработаны уточненные математические методы решения задач механики в обобщенных координатах. Они вводят обобщенный импульс, также известный как канонический или же сопряженный импульс, что расширяет понятия как количества движения, так и момента количества движения. Чтобы отличить его от обобщенного импульса, произведение массы и скорости также называют механический, кинетический или же кинематический импульс. [6] [25] [26] Два основных метода описаны ниже.

Лагранжева механика

В лагранжевой механике лагранжиан определяется как разница между кинетической энергией Т и потенциальная энергия V :

Если обобщенные координаты представлены в виде вектора q = (q1, q2, . , qN), а дифференцирование по времени обозначается точкой над переменной, тогда уравнения движения (известные как уравнения Лагранжа или Эйлера – Лагранжа) представляют собой набор N уравнения: [27]

Если координата qя не является декартовой координатой, связанная с ней обобщенная компонента импульса пя не обязательно имеет размерность количества движения. Даже если qя - декартова координата, пя не будет таким же, как механический импульс, если потенциал зависит от скорости. [6] Некоторые источники обозначают кинематический импульс символом Π . [28]

В этой математической структуре обобщенный импульс связан с обобщенными координатами. Его компоненты определяются как

Каждый компонент пj считается сопряженный импульс для координаты qj .

Теперь, если заданная координата qя не входит в лагранжиан (хотя может появиться его производная по времени), то

Это обобщение закона сохранения импульса. [6]

Даже если обобщенные координаты - это просто обычные пространственные координаты, сопряженные импульсы не обязательно являются обычными координатами импульса. Пример можно найти в разделе по электромагнетизму.

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике лагранжиан (функция обобщенных координат и их производных) заменяется гамильтонианом, который является функцией обобщенных координат и импульса. Гамильтониан определяется как

где импульс получается дифференцированием лагранжиана, как указано выше. Гамильтоновы уравнения движения [29]

Как и в лагранжевой механике, если обобщенная координата не появляется в гамильтониане, его сопряженная составляющая импульса сохраняется. [30]

Симметрия и сохранение

Сохранение количества движения является математическим следствием однородности (симметрии сдвига) пространства (положение в пространстве - это каноническая величина, сопряженная с импульсом). То есть сохранение количества движения является следствием того, что законы физики не зависят от положения, это частный случай теоремы Нётер. [31] Для систем, не обладающих этой симметрией, может быть невозможно определить сохранение импульса. Примеры, в которых сохранение импульса не применяется, включают искривленное пространство-время в общей теории относительности [32] или кристаллы времени в физике конденсированного состояния. [33] [34] [35] [36]

Частица в поле

В уравнениях Максвелла силы между частицами опосредуются электрическими и магнитными полями. Электромагнитная сила (Сила Лоренца) на частице с зарядом q из-за комбинации электрического поля E и магнитное поле B является

(в единицах СИ). [37]: 2 Имеет электрический потенциал. φ(р, т) и магнитный векторный потенциал А(р, т). [28] В нерелятивистском режиме его обобщенный импульс равен

в то время как в релятивистской механике это становится

Сохранение

В механике Ньютона закон сохранения количества движения может быть выведен из закона действия и противодействия, который гласит, что каждая сила имеет возвратно-поступательную равную и противоположную силу. При некоторых обстоятельствах движущиеся заряженные частицы могут оказывать друг на друга силы в противоположных направлениях. [42] Тем не менее, общий импульс частиц и электромагнитного поля сохраняется.

Вакуум

Сила Лоренца передает импульс частице, поэтому по второму закону Ньютона частица должна передавать импульс электромагнитным полям. [43]

В вакууме импульс единицы объема равен

где μ0 - проницаемость вакуума и c это скорость света. Плотность импульса пропорциональна вектору Пойнтинга S что дает направленную скорость передачи энергии на единицу площади: [43] [44]

Если необходимо сохранить импульс в объеме V по региону Q , изменения количества движения вещества под действием силы Лоренца должны уравновешиваться изменениями количества движения электромагнитного поля и его истечением. Если пмех - импульс всех частиц в Q , а частицы рассматриваются как континуум, то второй закон Ньютона дает

Электромагнитный импульс равен

и уравнение сохранения каждого компонента я импульса

Член справа представляет собой интеграл по площади поверхности Σ поверхности σ представляющий поток импульса в объем и из него, и пj является компонентом нормали к поверхности S . Количество Тij называется тензором напряжений Максвелла, определяемым как

СМИ

Приведенные выше результаты относятся к микроскопический Уравнения Максвелла, применимые к электромагнитным силам в вакууме (или в очень малых масштабах в среде). Плотность импульса в средах определить сложнее, потому что разделение на электромагнитное и механическое произвольно. Определение плотности электромагнитного импульса изменено на

где H-поле ЧАС связана с B-полем и намагниченностью M от

Тензор электромагнитных напряжений зависит от свойств среды. [43]

В квантовой механике импульс определяется как самосопряженный оператор волновой функции. Принцип неопределенности Гейзенберга определяет пределы того, насколько точно можно узнать импульс и положение единственной наблюдаемой системы одновременно. В квантовой механике положение и импульс - сопряженные переменные.

Для одиночной частицы, описываемой в базисе позиций, оператор импульса может быть записан как

где ∇ - оператор градиента, час - приведенная постоянная Планка, а я мнимая единица. Это часто встречающаяся форма оператора импульса, хотя оператор импульса в других базисах может принимать другие формы. Например, в импульсном пространстве оператор импульса представляется как

где оператор п действуя на волновую функцию ψ(п) дает эту волновую функцию, умноженную на значение п , аналогично тому, как оператор положения, действующий на волновую функцию ψ(Икс) дает эту волновую функцию, умноженную на значение Икс.

Как для массивных, так и для безмассовых объектов релятивистский импульс связан с фазовой постоянной β < displaystyle beta> формулой [45]

Электромагнитное излучение (включая видимый свет, ультрафиолетовый свет и радиоволны) переносится фотонами. Несмотря на то, что фотоны (частица света) не имеют массы, они все же несут импульс. Это приводит к таким приложениям, как солнечный парус. Вычисление импульса света в диэлектрической среде несколько противоречиво (см. Противоречие Абрахама-Минковского). [46] [47]

Сохранение в континууме

В таких областях, как гидродинамика и механика твердого тела, невозможно проследить движение отдельных атомов или молекул. Вместо этого материалы должны быть аппроксимированы континуумом, в котором есть частицы или частицы жидкости в каждой точке, которой приписывается среднее значение свойств атомов в небольшой области поблизости. В частности, он имеет плотность ρ и скорость v это зависит от времени т и положение р . Импульс на единицу объема равен ρv . [48]

Рассмотрим столб воды в гидростатическом равновесии. Все силы на воде уравновешены, и вода неподвижна. В каждой капле воды уравновешиваются две силы. Первый - это гравитация, которая действует непосредственно на каждый атом и молекулу внутри. Сила тяжести на единицу объема равна ρграмм , где грамм - ускорение свободного падения. Вторая сила - это сумма всех сил, действующих на его поверхность со стороны окружающей воды. Сила снизу больше, чем сила сверху, как раз на величину, необходимую для уравновешивания силы тяжести. Нормальная сила на единицу площади - это давление п . Средняя сила на единицу объема внутри капли - это градиент давления, поэтому уравнение баланса сил имеет вид [49]

Силы, которые могут изменить импульс капли, включают градиент давления и гравитации, как указано выше. Вдобавок поверхностные силы могут деформировать каплю. В простейшем случае напряжение сдвига τ , действующая под действием силы, параллельной поверхности капли, пропорциональна скорости деформации или скорости деформации. Такое напряжение сдвига возникает, если жидкость имеет градиент скорости, потому что жидкость движется быстрее с одной стороны, чем с другой. Если скорость в Икс направление меняется в зависимости от z , касательная сила в направлении Икс на единицу площади перпендикулярно z направление

где μ вязкость. Это также поток или поток на единицу площади Икс-импульс через поверхность. [51]

С учетом влияния вязкости уравнения баланса количества движения для несжимаемого потока ньютоновской жидкости имеют вид

Уравнения баланса импульса можно распространить на более общие материалы, включая твердые тела. Для каждой поверхности с нормалью по направлению я и сила в направлении j , есть стрессовая составляющая σij . Девять компонент составляют тензор напряжений Коши σ , который включает как давление, так и сдвиг. Локальное сохранение импульса выражается уравнением импульса Коши:

Уравнение импульса Коши широко применимо к деформациям твердых тел и жидкостей. Соотношение между напряжениями и скоростью деформации зависит от свойств материала (см. Типы вязкости).

Акустические волны

Возмущение в среде вызывает колебания или волны, которые распространяются вдали от своего источника. В жидкости небольшие изменения давления п часто можно описать уравнением акустической волны:

где c это скорость звука. В твердом теле аналогичные уравнения могут быть получены для распространения давления (P-волны) и сдвига (S-волны). [54]

Поток или перенос на единицу площади компоненты импульса ρvj по скорости vя равно ρ vjvj . В линейном приближении, которое приводит к приведенному выше акустическому уравнению, среднее время этого потока равно нулю. Однако нелинейные эффекты могут привести к ненулевому среднему значению. [55] Поток импульса может возникать, даже если сама волна не имеет среднего импульса. [56]

Примерно в 530 году нашей эры, работая в Александрии, византийский философ Иоанн Филопон разработал концепцию импульса в своем комментарии к книге Аристотеля. Физика. Аристотель утверждал, что все, что движется, должно чем-то двигаться. Например, брошенный мяч нужно удерживать в движении с помощью движений воздуха. Большинство авторов продолжали принимать теорию Аристотеля до времен Галилея, но некоторые были настроены скептически. Филопон указал на абсурдность утверждения Аристотеля о том, что движению объекта способствует тот же воздух, который сопротивляется его прохождению. Вместо этого он предположил, что объекту был придан импульс в момент его броска. [57] Ибн Сина (также известный под латинизированным именем Авиценна) читал Филопона и опубликовал свою собственную теорию движения в Книга исцеления в 1020 г. Он согласился с тем, что метатель сообщает снаряду импульс, но в отличие от Филопона, который считал, что это временная добродетель, которая уменьшится даже в вакууме, он рассматривал ее как постоянную, требующую внешних сил, таких как сопротивление воздуха. рассеять это. [58] [59] [60] Труды Филопона и, возможно, Ибн Сины, [60] были прочитаны и уточнены европейскими философами Питером Оливи и Жаном Буриданом. Буридан, который примерно в 1350 году стал ректором Парижского университета, говорил о том, что импульс пропорционален весу, умноженному на скорость. Более того, теория Буридана отличалась от теории его предшественника в том, что он не считал импульс саморассеивающимся, утверждая, что тело будет задержано силами сопротивления воздуха и гравитации, которые могут противодействовать его импульсу. [61] [62]

Рене Декарт считал, что общее «количество движения» (лат. Quantitas motus) во Вселенной сохраняется [63], где количество движения понимается как произведение размера и скорости. Это не следует рассматривать как утверждение современного закона количества движения, поскольку у него не было концепции массы, отличной от веса и размера, и, что более важно, он считал, что сохраняется скорость, а не скорость. Так, по мнению Декарта, если бы движущийся объект отскочил от поверхности, изменив свое направление, но не скорость, не было бы никаких изменений в его количестве движения. [64] [65] [66] Галилей в своем Две новые науки, использовал итальянское слово импето аналогичным образом описать количество движения Декарта.

Лейбниц в своем «Рассуждении о метафизике» привел аргумент против конструкции Декарта о сохранении «количества движения» на примере сбрасывания блоков разного размера на разные расстояния. Он указывает, что сила сохраняется, но количество движения, которое определяется как произведение размера и скорости объекта, не сохраняется. [67]

Христиан Гюйгенс довольно рано пришел к выводу, что законы Декарта для упругого столкновения двух тел должны быть неправильными, и сформулировал правильные законы. [68] Важным шагом было его признание галилеевой инвариантности проблем. [69] На распространение его взглядов ушло много лет. Он передал их лично Уильяму Браункеру и Кристоферу Рену в Лондоне в 1661 году. [70] То, что Спиноза написал о них Генри Ольденбургу в 1666 году, во время Второй англо-голландской войны, было сохранено. [71] Гюйгенс разработал их в рукописи. De motu corporum ex percussione в период 1652–1616 гг. Война закончилась в 1667 году, и в 1668 году Гюйгенс объявил о своих результатах Королевскому обществу. Журнал des sçavans в 1669 г. [72]


Траектории частиц под действием силы Лоренца

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой руководящий центр и относительно медленный дрейф этого пункта. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.


Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд. q при наличии электромагнитных полей. [10] [27] Закон силы Лоренца описывает эффект E а также B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы - не вся картина. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца является одним из аспектов генерации E а также B токами и зарядами - другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на E а также B поля, но также и генерировать эти поля. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решить сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера и # 8211-Планка или уравнения Навье и Стокса. Например, см. Магнитогидродинамику, гидродинамику, электрогидродинамику, сверхпроводимость, звездную эволюцию. Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, отношения Грина & # 8211Кубо и функцию Грина (теория многих тел).


Решение уравнения

Доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана. Этот аналитический подход дает понимание, но обычно не используется в практических задачах.

Вместо этого численные методы (включая методы конечных элементов и решеточные методы Больцмана) обычно используются для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана. Примеры приложений варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа & # 9116 & # 93 & # 9117 & # 93 до потоков плазмы. & # 9118 & # 93 Применение уравнения Больцмана в электродинамике - это вычисление электропроводности - результат в первом порядке совпадает с полуклассическим результатом. & # 9119 & # 93

Близкое к локальному равновесию решение уравнения Больцмана может быть представлено асимптотическим разложением по степеням числа Кнудсена (разложение Чепмена-Энскога & # 9120 & # 93). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса. У высших членов есть особенности. Проблема математического развития предельных процессов, которые ведут от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения сплошных сред, является важной частью шестой проблемы Гильберта. & # 9121 & # 93


СОДЕРЖАНИЕ

Первое конститутивное уравнение (конститутивный закон) было разработано Робертом Гуком и известно как закон Гука. Он касается случая линейно-упругих материалов. После этого открытия широко использовался этот тип уравнения, часто называемый «отношением напряжения к деформации» в этом примере, но также называемый «определяющим допущением» или «уравнением состояния». Уолтер Нолл продвинул использование материальных уравнений, прояснив их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений таких терминов, как «материал», «изотропный», «эолотропный» и т. Д. Класс «определяющих соотношений» формы скорость напряжения = f (градиент скорости, напряжение, плотность) был предметом диссертации Уолтера Нолла в 1954 году под руководством Клиффорда Трусделла. & # 912 & # 93

Определения

п, σ [математика] Displaystyle < sigma = F / A> [/ математика]

F перпендикулярная составляющая силы, приложенной к площади А

Деформация твердых тел

Трение

Трение - сложное явление. Макроскопически сила трения F между границей раздела двух материалов можно смоделировать пропорциональную силе реакции р в точке соприкосновения двух поверхностей раздела через безразмерный коэффициент трения μж, который зависит от пары материалов:

Это может быть применено к статическому трению (трение, препятствующему скольжению двух неподвижных объектов по отдельности), кинетическому трению (трение между двумя объектами, которые царапают / скользят друг по другу) или качению (сила трения, которая предотвращает скольжение, но вызывает действие крутящего момента на круглый предмет).

Стресс и напряжение

Материальное соотношение напряжение-деформация для линейных материалов обычно известно как закон Гука. В простейшей форме закон определяет жесткость пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждающем, что сила растяжения / сжатия пропорциональна растянутому (или сжатому) смещению Икс:

это означает, что материал реагирует линейно. Эквивалентно с точки зрения напряжения σ, Модуль для младших E, и напряжение ε (безразмерный):

В общем, силы, которые деформируют твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или касательными (поперечные силы), это можно описать математически с помощью тензора напряжений:

[математика] Displaystyle < sigma_= C_ , varepsilon_ , rightleftharpoons , varepsilon_ = S_ , sigma_ > [/ math]

где C - тензор упругости и S - тензор податливости.

Деформации твердого тела

Несколько классов деформаций в упругих материалах: & # 914 & # 93

  • Эластичный: Материал восстанавливает свою первоначальную форму после деформации.
  • Неэластичный: если материал близок к эластичному, но приложенная сила вызывает дополнительные зависящие от времени силы сопротивления (т.е. зависят от скорости изменения растяжения / сжатия в дополнение к растяжению / сжатию). Металлы и керамика имеют эту характеристику, но обычно ею можно пренебречь, хотя и не так сильно, когда происходит нагрев из-за трения (например, вибрации или напряжения сдвига в машинах).
  • Вязкоупругий: Если зависящие от времени резистивные вклады велики, и ими нельзя пренебрегать. Каучуки и пластмассы обладают этим свойством и определенно не удовлетворяют закону Гука. Фактически возникает упругий гистерезис.
  • Пластик: Приложенная сила вызывает невосстановимые деформации в материале, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.
  • Гиперэластичный: Приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации.

Столкновения

Относительная скорость отделения vразделение объекта A после столкновения с другим объектом B связано с относительной скоростью приближения vподход коэффициентом восстановления, определяемым экспериментальным законом удара Ньютона: & # 915 & # 93

который зависит от материалов, из которых сделаны A и B, поскольку столкновение включает взаимодействия на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ е ≤ 1, в котором е = 1 для полностью упругих столкновений и е = 0 для полностью неупругих столкновений. Это возможно для е ≥ 1 - для сверхупругих (или взрывных) соударений.

Деформация жидкостей

Уравнение сопротивления дает силу сопротивления D на объекте площади поперечного сечения А движется сквозь жидкость плотности ρ на скорости v (относительно жидкости)

[математика] displaystyle <2> c_d rho A v ^ 2> [/ math]

где коэффициент лобового сопротивления (безразмерный) cd зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела между жидкостью и объектом.

Для ньютоновской жидкости вязкости μ, напряжение сдвига τ линейно связана со скоростью деформации (градиентом скорости поперечного потока) ∂ты/∂у (единицы измерения s −1). В равномерном сдвиговом потоке:

с участием ты(у) изменение скорости потока ты в поперечном (поперечном) направлении у. В общем, для ньютоновской жидкости соотношение между элементами τij тензора касательных напряжений и деформация жидкости определяется выражением

[математика] Displaystyle < tau_= 2 му влево (e_ - frac13 Delta delta_ right)> [/ math] & # 160 с & # 160 [math] displaystyle = frac12 left ( frac < partial v_i> < partial x_j> + frac < partial v_j> < partial x_i> right)> [/ math] & # 160 и & # 160 [math] displaystyle < Delta = sum_k e_= текст

mathbf,> [/ math]

где vя - компоненты вектора скорости потока в соответствующих Икся координатные направления, еij - компоненты тензора скорости деформации, Δ - объемная скорость деформации (или скорость расширения) и δij - дельта Кронекера. & # 916 & # 93

В закон идеального газа является определяющим соотношением в смысле давления п и объем V связаны с температурой Т, через количество родинок п газа:

где р - газовая постоянная (Дж⋅К −1 моль −1).


Модулированные вращающиеся волны в намагниченной сферической системе Куэтта

Мы представляем исследование, посвященное подробному описанию модулированных вращающихся волн (MRW) в намагниченной сферической системе Куэтта. Установка состоит из жидкого металла, заключенного между двумя по-разному вращающимися сферами и подвергнутого приложенному в осевом направлении магнитному полю. При изменении напряженности магнитного поля несколько ветвей MRW получают с помощью трехмерного прямого численного моделирования. MRW происходят из родительских ветвей вращающихся волн и классифицируются в соответствии с теоретическим описанием Рэнда (Arch Ration Mech Anal 79: 1–37, 1982) и Кафлинга и Маркуса (J Fluid Mech 234: 1–18, 1992). Мы обнаружили относительно большие интервалы мультистабильности MRW при слабом магнитном поле, соответствующие радиальной неустойчивости струи, известной из предыдущих исследований. Однако при большем магнитном поле, соответствующем режиму обратного потока, интервалы устойчивости MRW очень узкие, и поэтому их вряд ли можно будет найти без детального знания точки их бифуркации. Тщательный анализ пространственно-временной симметрии наиболее энергичных мод, участвующих в различных классах MRW, позволит в будущем провести сравнение с экспериментом HEDGEHOG, намагниченным сферическим устройством Куэтта, размещенным в Центре Гельмгольца в Дрездене-Россендорфе.

Это предварительный просмотр содержимого подписки, доступ через ваше учреждение.


Принадлежности

Кафедра физики, Университет Калабрии, Via P. Bucci cubo 31C, 87036, Ренде, Италия

Джузеппина Нигро и Франческо Валентини

Физический факультет Пизанского университета, Largo Pontecorvo 3, 56127, Пиза, Италия

Национальный исследовательский совет, Национальный институт оптики, Via G. Moruzzi 1, Пиза, Италия

Вы также можете найти этого автора в PubMed Google Scholar

Вы также можете найти этого автора в PubMed Google Scholar

Вы также можете найти этого автора в PubMed Google Scholar

Автор, ответственный за переписку


Смотреть видео: Navier Stokes equation (November 2022).